ミクロ経済学戦略的アプローチ梶井厚志松井彰彦 7 公共財 2

集団的意思決定とインセンティブ

2人のプレイヤーについて考える。

プレーヤーiにとって、公共財の価値は $v_{i}$ 、公共財生産のための費用を $c_{i}$ とする。プレーヤーiは $v_{i}$ までは支出してもよい。プレイヤーiが受けとる余剰は $v_{i} - c_{i}$ なので、プレイヤーiにとって $v_{i} \gt c_{i}$ なら生産された方が良い。
公共財生産の総費用を $c$ とする。このとき、 $v_{1}+v_{2} \lt c$ なら公共財は生産させるべきではない。また、 $c_{1}+c_{2} \gt c$ でなくては生産はできない。
余剰の総額を $s$ とする。 $s=v_{1}+v_{2}-c$ である。

$v_{1}+v_{2} \ge c$ のとき、 $c_{1}+c_{2} = c$ (つまり無駄がない)なら総余剰は総費用を上まわる。
しかし例えば $c = c_{1}$ なら $v_{1} - c_{1}$ が負になってしまうかもしれない。そこで余剰を仲良く分配すればよい。

$c_{1}=v_{1}-\frac{s}{2}$ , $c_{2}=v_{2}-\frac{s}{2}$ にすれば

$c_{1}+c_{2}=v_{1}-\frac{s}{2}+v_{2}-\frac{s}{2}=c$ になるので共有財の生産が可能である。
$v_{1}-c_{1}=\frac{s}{2}$ , $v_{2}-c_{2}=\frac{s}{2}$ になるので、両プレイヤーの受けとる余剰も正となる。

公共財は生産された方がよい。

公共財の生産に関する決定する主体を政府と呼ぶのなら、政府は、評価額の和が費用を上回るときに、公共財を生産を決定すべき、ただし費用の配分には注意が必要。

$c$ は分かっているとき、 $v_{1}+v_{2}>c$ であるとき、かつその時に限って、公共財が生産されるような手続きは何か。

両者の評価額がわかっているとき

それぞれの評価額 $v_{i}$ がわかっていれば

総評価額が総費用を下回ったとき( $v_{1} + v_{2} \lt c$ )は生産をやめ、総評価額が総費用を上回ったとき( $v_{1} + v_{2} \ge c$ )、生産を行うことを決定する
第iプレイヤーの受け取る純余剰が0以上( $v_{i}-c_{i} \ge 0$ )になるように、それぞれのiについて $c_{i}$ の値を決めていく
両者に投票をさせ両者が賛成するときにのみ公共財をつくると宣言する。

その時の戦略形表現はこのようになる

多数決による解決
		プレイヤー2
		賛成	反対
プレイヤー1	賛成	$v_{1}-c_{1}$ , $v_{2}-c_{2}$	0,0
プレイヤー1	反対	0,0	0,0

両者とも賛成するのが(弱支配戦略)による均衡になる。

評価額を本人しか知らないとき。

費用を公的に負担することにして、評価額を尋ねたとしたら、過少申告はなくなるが、ただなら作ってもらった方が得なので、逆に過大申告が発生し $v_{1}+v_{2} < c$ のときですら公共財が生産されて全体として無駄になる。

プレイヤーに評価額を聞いてみたらどうなるか。
もしプレイヤーが評価額を正直に答えてくれるのならば「両者の評価額がわかっているとき」の手続きを使えばいい。

プレイヤーiの申告額を $r_{i}$ ( $r_{i} \ge 0$ )とする。
プレイヤーの戦略は $r_{i}$ を決めることである。
申告に基づく余剰を $s^*$ とする。 $s^*=r_{1}+r_{2}-c$

先程の手続きによると
$r_{1}+r_{2} \ge c$ なら公共財は生産され,プレイヤーiの負担は $c_{i}=r_{i}-\frac{s^*}{2}$ となる。
このとき、 $v_{i}-c_{i}=v_{i}-r_{i}+\frac{s^*}{2}=v_{i}-r_{i}+\frac{r_{1}+r_{2}-c}{2}=v_{i}+\frac{r_{1}+r_{2}-2r_{i}-c}{2}$
戦略の組( $r_{1}$ , $r_{2}$ )が取られたとき、プレーヤーの利得は

$r_{1}+r_{2} \ge c$ なら,プレイヤー1は $v_{1}+\frac{-r_{1}+r_{2}-c}{2}$ 、プレイヤー2は

$v_{2}+\frac{ r_{1}-r_{2}-c}{2}$ となる

そうでなければ両方とも0になる。

$v_{1}+v_{2} \ge c$ のとき、どのような戦略の組が均衡となるか。

プレイヤー1は $r_{1}+r_{2} \ge c$ のとき、つまり $r_{1} \ge c - r_{2}$ の条件下で、プレイヤー1の利得 $v_{1}+\frac{-r_{1}+r_{2}-c}{2}$ が大きくなるよように $r_{1}$ を設定したい。そのためには $r_{1}$ をできるだけ小さくしたいが、 $r_{1} \ge c - r_{2}$ の条件があるので、最小値は $r_{1} = c - r_{2}$ である。このとき、プレイヤー1の利得は $v_{1}+r_{2}-c$ になる。これが0( $r_{1}+r_{2} \ge c$ でないときの利得)よりも大きくなる条件は $v_{1}+r_{2}-c>0$ つまり $r_{2}>c-v_{1}$ である。
つまり、プレイヤー1は $r_{2}>c-v_{1}$ なら $r_{1} = c - r_{2}$ とするのが $r_{2}$ への最適反応戦略。同様に、プレイヤー2は $r_{1}>c-v_{2}$ なら $r_{2} = c - r_{1}$ とするのが $r_{1}$ への最適反応戦略。

相手の申告額を所与としたとき、公共財ができる範囲で、できるだけ自分の申告額を少なくするのが最適な行動になる

ナッシュ均衡は無数に存在する。

余剰の半分を自分の権利として申告する場合もナッシュ均衡 ( $r_{1}$ , $r_{2}$ )=( $v_{1}-\frac{v_{1}+v_{2}-c}{2}$ , $v_{2}-\frac{v_{1}+v_{2}-c}{2}$ )
プレイヤー1が余剰の全額を受け取り、プレイヤー2が正直に申告して余剰を受けとらない場合もナッシュ均衡 ( $r_{1}$ , $r_{2}$ )=( $c-v_{2}$ , $v_{2}$ )

いっぽう $v_{1}+v_{2} \lt c$ であるときに最適反応を考えると $r_{2} \ge c - v_{1}$ と $r_{1} \ge c - v_{2}$ は同時に成立しないため、公共財が生産されないように( $r_{1}+r_{2} \lt c$ )となるような、例えば( $r_{1}$ , $r_{2}$ )=(0,0)が均衡となる。

$v_{1}+v_{2} \lt c$ のとき, $r_{2} \gt c - v_{1}$ だとすると、プレイヤー1は自分の申告額 $r_{1}=c-r_{2}$ の式によって決定する。

$c \gt v{1}+v{2}$ より $c - v_{1} \gt v_{2}$ であり、 $r_{2} \gt c - v_{1}$ だったので、 $r_{2} \gt v_{2}$ ,
$r_{1}=c-r_{2}$ より $r_{2}=c-r_{1}$ なので, $r_{2} \gt v_{2}$ に代入して $c-r_{1} \gt v_{2}$ ,その結果、 $r_{1} \lt c -v_{2}$ となる