ミクロ経済学戦略的アプローチ梶井厚志松井彰彦 7 公共財 4

修正 Groves-Clarke メカニズム

修正GCメカニズム

生産するしないに関わらず、もし相手が費用の均等割りよりも高い申告をしているならば、申告額と均等割額の差額が自分の負担金に追加される。

もし $r_2 \ge \frac c 2$ なら、プレイヤー1の負担金の追加分は $r_2- \frac c 2$ となる。この負担額は公共財が生産されてもされなくてもプレイヤー1に課されてしまう。(もし生産されたとしたら負担金の総額は $(c-r_2)+(r_2- \frac c 2)= \frac c 2$ である。)[tex:r_1+r_2

プレイヤー1の利得は

	$r_1+r_2 \ge c$ (生産される)	$r_1+r_2 \lt c$ (生産されない)
$r_2 \lt \frac c 2$ (追加負担0)	$v_1+r_2-c$	$0$
$r_2 \ge \frac c 2$ (追加負担 $r_2- \frac c 2$ )	$v_1-\frac c 2$	$\frac c 2-r_2$

プレイヤー2の利得は

	$r_1+r_2 \ge c$ (生産される)	$r_1+r_2 \lt c$ (生産されない)
$r_1 \lt \frac c 2$ (追加負担0)	$v_2+r_1-c$	$0$
$r_1 \ge \frac c 2$ (追加負担 $r_1- \frac c 2$ )	$v_2-\frac c 2$	$\frac c 2-r_1$

この場合、プレイヤ1が正直に申告する $r_1=v_1$ 事が弱支配戦略である事を示す。
$r_2 \lt \frac c 2$ の時は、通常のGCメカニズムと同じ議論により、 $r_1=v_1$ が他の戦略を弱支配することがわかるので、 $r_2 \ge \frac c 2$ の場合について考える。

自分の申告額は、公共財が生産されるかされないかを左右することはできるが、最終的な利得の中には現われてこない。

つまり、

公共財が生産された方が得ならば、公共財を生産されるような $r_1$ を選びさえできれば良い。
公共財が生産された方が損ならば、公共財を生産されないような $r_1$ を選びさえできれば良い。

(公共財が生産された時の利得 $v_1-\frac c 2$ )-(公共財が生産されなかった時の利得 $\frac c 2-r_2$ )= $v_1+r_2-c$ なので

$v_1+r_2-c \ge 0$ なら生産された方が良い。
$v_1+r_2-c \lt 0$ なら生産されない方が良い。

戦略 $r_1=v_1$ を取っておけば

$v_1+r_2-c \ge 0$ のとき, $r_1+r_2 = v_1+r_2 \ge c$ なので公共財は生産される。
$v_1+r_2-c \lt 0$ のとき, $r_1+r_2 = v_1+r_2 \lt c$ なので公共財は生産されない。

以上で $r_1=v_1$ が弱支配戦略だと確認できた。
プレイヤー2についても同じように議論ができ、 $r_2=v_2$ が弱支配戦略となっている。

このメカニズムにおいて公共財が生産されるとき、両プレイヤーが負担する総額は、公共財の生産額を越えているだろうか。(つまり公共財の生産を賄えるだろうか。)

まず、少なくとも一方は、生産費用の半額よりも高い額で申告をしているはずである。

生産されることが決まっているので $r_1+r_2 \ge c$ になっているはずである。

もし、両プレイヤーが半額より低い申告をしていたと仮定すると、 $r_1 \lt \frac c 2$ , $r_2 \lt \frac c 2$ となる。このとき,この2式から $r_1+r_2 \lt c$ となる。これは $r_1+r_2 \ge c$ に矛盾するので、両プレイヤーが半額より低い申告をしているということはない。
少くとも一方は、半額より高い申告をしているはずである。

プレイヤー2のみが半額より高い申告をしていると仮定( $r_2 \ge \frac c 2$ かつ $r_1 \lt \frac c 2$ )する。(プレイヤー1の通常負担額 $c-r_2$ )+(プレイヤー2の通常負担額 $c-r_1$ )+(プレイヤー1の追加負担額 $r_2- \frac c 2$ )= $c+(\frac 1 2 c-r_1)$ となる。 $r_1 \lt \frac c 2$ だったので $c+(\frac 1 2 c-r_1) \gt c$ となり、公共財の生産費用は賄われている事がわかる。
プレイヤー1が半額より高い申告をする場合は、同じ議論で同じ結論になるので省略する
両者とも高い申告をする場合( $r_1 \ge \frac c 2$ かつ $r_1 \ge \frac c 2$ )は、両者とも追加の負担をするので、(プレイヤー1の通常負担額 $c-r_2$ )+(プレイヤー2の通常負担額 $c-r_1$ )+(プレイヤー1の追加負担額 $r_2- \frac c 2$ )+(プレイヤー2の追加負担額 $r_1- \frac c 2$ )= $c$ となり、費用が分担されている。